Determinante de uma matriz

Veja a seguir um exemplo de matriz quadrada:

| 1   5   6 |
|-7  -9   6 |
| 3   2   1 |

Observe que nessa matriz o número de linhas é igual ao número de colunas. A partir dai podemos identificar sua diagonal principal, que é formada pelos números 1, -9, 1. O processo para desenvolvermos o calculo do determinante da matriz quadrada exige como pré requisito o estudo de matrizes feito anteriormente.
O procedimento do calculo do determinante de uma matriz quadrada é dado pelo seguinte desenvolvimento:
Vamos escrever a matriz que desejamos calcular o determinante e repetir as 2 primeiras colunas.

| 1   5   6 | 1   5|
|-7  -9   6 |-7  -9|
| 3   2   1 | 3   2|

Feita a montagem podemos efetuar os produtos considerando as diagonais:
Diagonais da esquerda para a direita: (1,-9,1); (5,6,3);(6,-7,2).
Diagonais da direita para a esquerda: (5,-7,1);(1,6,2);(6,-9,3).
Primeiro pegamos as diagonais da esquerda para a direita fazendo a soma dos produtos das respectivas diagonais. Agora pegaremos as diagonais da direita para a esquerda, fazendo a diferença dos produtos das respectivas diagonais.
Encontraremos a seguinte operação:  -9+90+(-84)-(-35)-12-(-162)= 182
A operação anterior tem por resultado o valor de 182 que é o valor do determinante da matriz  (3 x 3).
É importante dizer que apenas as matrizes quadradas possuem determinantes;O determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Dizemos fila de um determinante, para qualquer linha ou coluna.
Usamos anteriormente no calculo do determinante da matriz quadrada a chamada regra de Sarrus.

Operações

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada.

Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas.

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b₁₂.


►Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a₁₁ + b₁₁ = c₁₁.

Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+ = 3 x 3

Observe os elementos em destaques:

a₁₃ = - 1 e b₁₃ = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c₁₃ = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c₃₂, tivemos que somar a₃₂ + b₃₂.  Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

►Subtração

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a₂₁ – b₂₁ = c₂₁.

Exemplos:

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

- = 3 x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a₁₃ – b₁₃ = c_13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

Quando subtraímos a₃₁ – b₃₁ = c_31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte condição: o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. Observe alguns modelos de matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n.

A_4x3 * B_3x1

A_4x2 * B_2x3

A_1x2 * B_2x2

A_3x4 * B_4x3

Nesse modelo de multiplicação, os métodos são mais complexos. Dessa forma, precisamos ter muita atenção na resolução de uma multiplicação de matrizes. Vamos através de exemplos, demonstrar como efetuar tais cálculos. A operação deverá ser feita multiplicando os membros da linha da 1º matriz pelos membros da coluna da 2º matriz, onde os elementos devem ser somados, constituindo um único item posicional da matriz. Observe um modelo padrão de multiplicação:

Exemplo 1

Realizamos uma multiplicação entre uma matriz A de ordem 2 x 3 por uma matriz B de ordem 3 x 2. Observe que a condição “o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz”, foi válida, pois 3 = 3. O interessante é que a matriz, produto da multiplicação, é de ordem 2 x 2, isto é, 2 linhas e 2 colunas, possuindo o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª.

Portanto, todas essas condições são observadas na multiplicação entre matrizes. Caso alguma dessas condições não seja válida, a operação da multiplicação estará efetuada de forma incorreta. Sempre que realizar multiplicação entre matrizes, faça de forma atenciosa, desenvolvendo completamente o processo, procurando não utilizar meios diretos para obter o resultado.


Exemplo 2

APRIMORANDO O CONHECIMENTO SOBRE MATRIZES COM O PROFESSOR RENATO GADELHA

Na manhã de segunda feira resolvemos tirar algumas dúvidas com o professor de matemática do 1° ano da nossa referida escola, foi uma hora de estudo espetacular. 

Com o aluno Jordan de Aquicultura do 1° ano

Aplicação de Matrizes com o aluno Jordan

 

Matriz Transposta, Oposta, Simétrica, e Anti-Simétrica

Matriz Transposta:
Matriz Transposta é quando o que é linha "i" passa a ser coluna "j".

Matriz Oposta:
Matriz Oposta é quando muda o sinal mas não altera a sua ordem.

Matriz Simétrica:
Conhecendo estas notações, vejamos a definição para uma matriz simétrica.

Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada de ordem n, que satisfaz:

A^t = A

Outra forma para enunciar esta definição é fazendo as igualdades dos elementos da matriz. Dizemos que uma matriz é simétrica quando,

Vejamos alguns exemplos de matrizes simétricas.

Vejamos um exemplo geral, com elementos quaisquer, simétricos.




Você parou para pensar por que uma matriz simétrica é uma matriz quadrada? Façamos a seguinte reflexão: o que devemos fazer para obter a matriz transposta de uma determinada matriz?

Devemos inverter as linhas com as colunas, ou seja, uma matriz:



Veja que trocamos a quantidade de linhas pela quantidade de colunas. Para que uma matriz seja simétrica devemos ter a igualdade desta matriz com a sua transposta.



Isto só será possível caso, m = n, e quando isso ocorre dizemos que a matriz é quadrada.
Matriz Anti-Simétrica:

	Uma matriz é dita anti-simétrica, se e somente se, ela for igual a sua transposta com o sinal trocado, ou seja, M = - Mt
Exemplo

Tipos de Matrizes

• Matriz Genérica:
  
  Ela indica o conjunto, as linhas e colunas como aij onde "a" representa o conjunto, "i" o número da linha e "j" o da coluna.
  Para montar uma matriz genérica é preciso conhecer apenas a Ordem da matriz. A ordem é representada por dois números que indicam a quantidade de linhas e de colunas (m x n). Numa matriz de duas linhas e três colunas a ordem é 2×3. Conhecendo a ordem basta montar a matriz genérica substituindo i e j pelo número da linha e da coluna.

       Matriz Quadrada: 

Matriz quadrada é um tipo especial de matriz que possui o mesmo número de linhas e o mesmo de colunas. Ou seja, dada uma matriz A n x m será uma matriz quadrada se, somente se, n = m.

     Matriz Retangular:

Matriz Retangular do tipo m x n (lê-se "m por n") é uma tabela de valores dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas (verticais).
Denotamos por aij ao elemento da linha i e da coluna j.

Se A é uma matriz do tipo m x n, escrevemos:

Matriz Identidade:

A matriz é construída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal têm valor um, e os demais elementos da matriz são zero.

Para qualquer matriz A, as seguintes igualdades são válidas:

Uma matriz identidade se apresenta da seguinte forma:

O que é Matriz?

Uma matriz é, em geral, representa por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (A, B, C, ...Z), enquanto os seus termos são representados pela mesma letra, desta vez minúscula, acompanhada de dois índices (a₁₁   a₁₂   a_{13 ...} a_mn), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna em que o elemento está localizado.

Apresentação da Equipe



Integrantes da Equipe



Olá! Seja bem vindo a o nosso blog!!! Nos chamamos Ana Bárbara, Éricka Porfírio, Jakellyne Rogério, Jaqueline Fernandes e Jéssica Guimarães.
Aqui vamos  aprimorar mais nossos conhecimentos sobre matrizes.
Estamos sendo auxiliadas pelo Prof. Fábio Mássimo, somos da escola EEEP DEPUTADO JOSÉ WALFRIDO MONTEIRO do curso técnico de Agrimensura do 2° ano.